Wstęp do geometrii różniczkowej [KSIĄŻKA]

Proponowany podręcznik powstał po przeprowadzeniu cyklu 30-godzinnych wykładĂłw ze wstępu z geometrii rĂłżniczkowej, ktĂłre prowadziliśmy dla studentĂłw II roku matematyki na Uniwersytecie Jagiellońskim. Podręcznik ten jest rozbudowany w stosunku do tego wykładu. Na jego realizację potrzeba naszym zdaniem, poświęcić 45-60 godzin wykładu. OgĂłlny pomysł podręcznika jest zgodny z duchem wykładu. Trudno zdecydować, jakie treści powinny się znaleźć w krĂłtkim wykładzie pod tytułem "Wstęp do geometrii rĂłżniczkowej". Zwłaszcza, że dla wielu studentĂłw wykład ten jest jedynym kontaktem z geometrią rĂłżniczkową w czasie całych studiĂłw. Geometria rĂłżniczkowa jest ogromną dziedziną i każdy wybĂłr wstępnych wiadomości byłby niewystarczający. Wystarczy zauważyć, że pięciotomowe dzieło M. Spivaka A. Comprehensive Introduction to Differential Geometry, [24], rĂłwnież nie zawiera wstępu do wszystkich działĂłw geometrii rĂłżniczkowej. Na ogĂłł, w ramach wstępu do geometrii rĂłżniczkowej wykłada się klasyczną teorię krzywych i powierzchni w R3. Jest to zgodne z kolejnością hostoryczną i ponadto dotyczy obiektĂłw, ktĂłre można zobaczyć "gołym okiem". Z drugiej jednak strony uważamy, że wspĂłłczesny absolwent uważamy, że wspĂłłczesny absolwent studiĂłw matematycznych, powinien znać przynajmniej elementy analizy i geometrii na abstrakcyjnych (nie zanurzonych) rozmaitościach i wiedzieć, co to jest rozmaitość riemannowska czy koneksja. Jest to już rĂłwnież materiał, jak najbardziej "klasyczny", a jego znajomość jest przydatna, niekiedy zaś nieodzowna, w studiowaniu wielu innych działĂłw matematyki, a także fizyki. Absolwent matematyki powinien być przygotowany do studiowania prac zawierających elementy wpĂłłczesnej geometrii rĂłżniczkowej. Mając na uwadze te fakty, postanowiliśmy rozdzielić teorię krzywych od teorii powierzchni rozdziałami dotyczącymi rozmaitości i struktur metrycznych i afinicznych (zadanych koneksjami liniowymi) na rozmaitościach . Przy takiej konstrukcji wykładu, teoria powierzchni może być prezentowana z zastosowaniem wiadomości o rozmaitościach abstrakcyjnych i z użyciem tak zwanego zapisu niezmiennego, to znaczy niezależnego od układĂłw wspĂłłrzędnych. Na przykład, zamiast mĂłwić o powierzchni jako o tworze pokrytym płatami prostymi, można mĂłwić o 2-wymiarowych podrozmaitościach w sensie immersji. Mając już pojęcie krzywizny sekcyjnej.